Задание № 1. Через точку сферы под углом 30° к диаметру, проходящему через эту точку, проведена плоскость, удалённая от центра сферы на 6√3. Найдите длину окружности полученного сечения.

Пусть радиус сферы равен R, а центр — O. Обозначим точку сферы через A, плоскость сечения — через α, а расстояние от центра до плоскости — через d.

1. Диаметр через A проходит через O, поэтому угол между прямой AO и плоскостью равен 30°. Перпендикулярное расстояние от O до плоскости равно OA sin 30°, то есть d = R/2.
2. Так как d = 6√3, получаем R/2 = 6√3, откуда R = 12√3.
3. Радиус окружности сечения равен r = √(R² − d²) = √((12√3)² − (6√3)²) = √(432 − 108) = 18.
4. Длина окружности сечения: L = 2πr = 36π.

Ответ: 36π.