Задание 1. Докажите, что выпуклый четырёхугольник MNPK является параллелограммом, если: а) ∠PMN = ∠MPK и ∠PMK = ∠MPN; б) MN ∥ PK, ∠M = ∠P.

а)

1. По равенству ∠PMN = ∠MPK при секущей MP получаем MN ∥ PK: эти углы — накрест лежащие.
2. По равенству ∠PMK = ∠MPN при той же секущей MP получаем MK ∥ PN.
3. В четырёхугольнике обе пары противоположных сторон параллельны, значит, MNPK — параллелограмм.

б)

1. Так как MN ∥ PK, внутренние односторонние углы при секущей NP дополняют друг друга до 180°: ∠N + ∠P = 180°.
2. По условию ∠M = ∠P, следовательно, ∠M + ∠N = 180°.
3. Углы M и N — внутренние односторонние углы при прямых MK и NP и секущей MN. Их сумма равна 180°, поэтому MK ∥ NP.
4. Итак, MN ∥ PK и MK ∥ NP; следовательно, MNPK — параллелограмм.