Задание 1. Докажите неравенство: а) $a(a+b)\ge ab$; б) $m^2-mn+n^2\ge mn$; в) $10a^2-5a+1\ge a^2+a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 1. Докажите неравенство: а) $a(a+b)\ge ab$; б) $m^2-mn+n^2\ge mn$; в) $10a^2-5a+1\ge a^2+a$.$ Фото задания

Accepted Answer

а) Перенесём правую часть влево и раскроем скобки:

$a(a+b)-ab=a^2+ab-ab=a^2\ge 0$, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен.

б) Перенесём правую часть влево и выделим квадрат разности:

$m^2-mn+n^2-mn=m^2-2mn+n^2=(m-n)^2\ge 0$.

в) Перенесём правую часть влево и выделим квадрат двучлена:

$10a^2-5a+1-(a^2+a)=9a^2-6a+1=(3a-1)^2\ge 0$.

Во всех трёх случаях получено неотрицательное выражение, поэтому неравенства верны.

Задание 1. Докажите неравенство: а) \(a(a+b)\ge ab\); б) \(m^2-mn+n^2\ge mn\); в) \(10a^2-5a+1\ge a^2+a\).