Задание 1. FEKP — параллелограмм. EP = x, FK = y. ∠KFP = 40°, ∠EKF = 25°, KP = 16. Найти x и y.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому EF = KP = 16. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

В треугольнике EFK углы при F и K равны 40° и 25°. Тогда ∠FEK = 180° − 40° − 25° = 115°.

По теореме синусов: FK / sin 115° = EF / sin 25°, следовательно, y = FK = 16 sin 115° / sin 25° ≈ 34.1.

Для нахождения EP рассмотрим треугольник EFK: диагональ FK образует с основанием FP угол 40°, а с верхней стороной EK — угол 25°. Удобнее найти EP по треугольнику EFP: поскольку EF ∥ KP и EK ∥ FP, угол EFP равен углу EKF, то есть 25°, а угол FEP равен 180° − 40° − 25° = 115°? Эти углы не определяются так: отметка 40° на рисунке относится к углу между EF и FK, а 25° — между EK и FK. Следовательно, в треугольнике EFK угол E = 115°.

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому угол P равен 115°, а угол F равен 65°. Диагональ FK делит угол F: отмеченные 40° между EF и FK дают оставшийся угол KFP = 65° − 40° = 25°. В треугольнике EFP угол F равен 25°, угол E равен 65° (так как EF образует с EK угол 65°), значит угол P равен 90°. Поэтому EP = EF · sin 25° = 16 sin 25° ≈ 6.76.

Ответ: x = 16 sin 25° ≈ 6.76, y = 16 sin 115° / sin 25° ≈ 34.1.