Задание №1. Из точки P, лежащей вне окружности, провели две секущие. Одна секущая пересекает окружность в точках A и B, другая — в точках C и D. Найдите PA, если AB = 5, DC = PD = 6, PB < PA.

По теореме о секущих, проведённых из одной точки, произведения внешней части секущей на всю секущую равны: \(PB\cdot PA=PD\cdot PC\).

Так как \(DC=6\) и \(PD=6\), получаем \(PC=PD+DC=12\). Тогда \(PD\cdot PC=6\cdot12=72\).

Пусть \(PB=x\). Поскольку \(AB=5\) и \(PB<PA\), точка B ближе к P, поэтому \(PA=x+5\). Составим уравнение: \(x(x+5)=72\), то есть \(x^2+5x-72=0\).

Положительный корень: \(x=\frac{-5+\sqrt{313}}{2}\). Следовательно, \(PA=x+5=\frac{5+\sqrt{313}}{2}\).

Ответ: \(PA=\frac{5+\sqrt{313}}{2}\).