Задание 1. На рисунке треугольник EFM, точка K лежит на EF, причём EK = KF. Даны MK = 13√2/4, EF = x; ∠EMK = 30°, ∠MFE = 45°, ME = y. Найти x и y.

Так как EK = KF, точка K — середина EF, поэтому MK — медиана.

В треугольнике MFK углы при M и F равны 30° и 45°. Тогда ∠MKF = 180° − 30° − 45° = 105°.

По теореме синусов:

\(\dfrac{KF}{\sin 30^\circ}=\dfrac{MK}{\sin 45^\circ}\), откуда \(KF=\dfrac{13\sqrt2}{4}\cdot\dfrac{\sin30^\circ}{\sin45^\circ}=\dfrac{13}{4}\).

Следовательно, \(EF=2KF=\dfrac{13}{2}\), то есть \(x=\dfrac{13}{2}\).

В треугольнике MFK снова применим теорему синусов: \(MF=MK\cdot\dfrac{\sin105^\circ}{\sin45^\circ}\). Поскольку \(\sin105^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\), получаем \(MF=\dfrac{13(\sqrt3+1)}{8}\).

В треугольнике MFE углы равны: ∠MFE = 45°, ∠FME = ∠FMK + ∠KME = 30° + 30°? Из рисунка отмечен только ∠KME = 30°? Схема показывает угол 30° между MK и MF, а не между ME и MK. Поэтому ∠FME нельзя определить по данным однозначно.

Для нахождения ME = y не хватает величины угла EMK (или иного условия, связывающего ME с известными сторонами). Значение \(x=\dfrac{13}{2}\) определяется однозначно.

Ответ: \(x=\dfrac{13}{2}\); найти \(y\) по предоставленным данным нельзя.