Задание №1. На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и N так, что ∠AMC = ∠CNA. 1. Является ли четырёхугольник AMCN параллелограммом? Почему? 2. Найдите длину отрезка AN, если BC = 39, BM = 15.

1. Так как точки M и C лежат на прямой BC, а точки A и N — на прямой AD, то MC ∥ AN. По условию ∠AMC = ∠CNA. Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых AM и CN параллельными прямыми MC и AN, значит, AM ∥ CN.

В четырёхугольнике AMCN противоположные стороны попарно параллельны: MC ∥ AN и AM ∥ CN. Следовательно, AMCN — параллелограмм.

2. В параллелограмме ABCD стороны BC и AD равны, поэтому AD = BC = 39.

MC = BC − BM = 39 − 15 = 24.

В параллелограмме AMCN противоположные стороны равны, поэтому AN = MC = 24.

Ответ: 1) да, AMCN — параллелограмм; 2) AN = 24.