ЗАДАНИЕ №1. Найдите длину медианы \(BM\) треугольника \(ABC\), если известно, что \(AB=9\), \(BC=14\), \(\angle ABM=71^\circ\) и \(\angle CBM=38^\circ\).

Так как \(BM\) — медиана, точка \(M\) является серединой \(AC\). По теореме Аполлония для медианы к стороне \(AC\): \(AB^2+BC^2=2(BM^2+AM^2)\). Обозначим \(BM=m\), а \(AM=MC=x\).

По теореме косинусов в треугольниках \(ABM\) и \(CBM\):

\(9^2=m^2+x^2-2mx\cos 71^\circ\),

\(14^2=m^2+x^2-2mx\cos 38^\circ\).

Вычитая первое равенство из второго, получаем \(115=2mx(\cos 71^\circ-\cos 38^\circ)\). Поэтому \(mx\approx 124.65\).

Из теоремы Аполлония: \(81+196=2(m^2+x^2)\), откуда \(m^2+x^2=138.5\). Тогда \((m+x)^2=138.5+2mx\approx387.8\), \((m-x)^2=138.5-2mx<0\). Это невозможно для действительных длин.

Следовательно, приведённые данные несовместимы: такого треугольника не существует. Углы и стороны определяют два треугольника с углами при \(B\), равными \(71^\circ+38^\circ=109^\circ\), но ни один не имеет \(BM\) медианой.

Ответ: такого треугольника при указанных данных не существует.