Задание 1. Найдите корень уравнения: 1) \(\frac{1}{5x-4}=2\); 2) \(\frac{1}{5x-4}=\frac{1}{3x-7}\); 3) \(\frac{1}{2x+7}=\frac{1}{3x+20}\); 4) \(\frac{x-15}{x+3}=4\); 5) \(\frac{3}{x-19}=\frac{19}{x-3}\); 6) \(\frac{x-5}{x-3}=3\); 7) \(\frac{4}{9}x=3\frac{5}{9}\); 8) \(-\frac{3}{5}x=1\frac{1}{5}\).

1. ОДЗ: \(5x-4\ne0\).
   \(1=2(5x-4)\), поэтому \(10x=9\), \(x=\frac{9}{10}\).

2. ОДЗ: \(5x-4\ne0\), \(3x-7\ne0\).
   Так как дроби имеют одинаковые числители, \(5x-4=3x-7\).
   \(2x=-3\), \(x=-\frac{3}{2}\).

3. ОДЗ: \(2x+7\ne0\), \(3x+20\ne0\).
   \(2x+7=3x+20\), откуда \(x=-13\).

4. ОДЗ: \(x\ne-3\).
   \(x-15=4(x+3)\), поэтому \(x-15=4x+12\), \(-3x=27\), \(x=-9\).

5. ОДЗ: \(x\ne19\), \(x\ne3\).
   \(3(x-3)=19(x-19)\).
   \(3x-9=19x-361\), \(352=16x\), \(x=22\).

6. ОДЗ: \(x\ne3\).
   \(x-5=3(x-3)\), поэтому \(x-5=3x-9\), \(2x=4\), \(x=2\).

7. Преобразуем смешанное число: \(3\frac{5}{9}=\frac{32}{9}\).
   \(\frac49x=\frac{32}{9}\), откуда \(4x=32\), \(x=8\).

8. Преобразуем смешанное число: \(1\frac15=\frac65\).
   \(-\frac35x=\frac65\), откуда \(-3x=6\), \(x=-2\).

Ответ: 1) \(x=\frac9{10}\); 2) \(x=-\frac32\); 3) \(x=-13\); 4) \(x=-9\); 5) \(x=22\); 6) \(x=2\); 7) \(x=8\); 8) \(x=-2\).