Задание №1. Найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение б (Х).

Решение:

Для каждого варианта рассчитаем математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение $$\sigma$$ (Х).

Вариант 1

Математическое ожидание М(Х):

\( M(X) = \sum (X_i \cdot P_i) \)

\( M(X) = (-1 \cdot 0,1) + (-2 \cdot 0,1) + (-3 \cdot 0,1) + (-10 \cdot 0,09) + (-12 \cdot 0,3) + (-20 \cdot 0,009) + (-30 \cdot 0,3) + (-40 \cdot 0,001) \)

\( M(X) = -0,1 - 0,2 - 0,3 - 0,9 - 3,6 - 0,18 - 9 - 0,04 \)

\( M(X) = -13,32 \)

Дисперсия D(X):

\( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \)

\( M(X^2) = \sum (X_i^2 \cdot P_i) \)

\( M(X^2) = ((-1)^2 \cdot 0,1) + ((-2)^2 \cdot 0,1) + ((-3)^2 \cdot 0,1) + ((-10)^2 \cdot 0,09) + ((-12)^2 \cdot 0,3) + ((-20)^2 \cdot 0,009) + ((-30)^2 \cdot 0,3) + ((-40)^2 \cdot 0,001) \)

\( M(X^2) = (1 \cdot 0,1) + (4 \cdot 0,1) + (9 \cdot 0,1) + (100 \cdot 0,09) + (144 \cdot 0,3) + (400 \cdot 0,009) + (900 \cdot 0,3) + (1600 \cdot 0,001) \)

\( M(X^2) = 0,1 + 0,4 + 0,9 + 9 + 43,2 + 3,6 + 270 + 1,6 \)

\( M(X^2) = 328,8 \)

\( D(X) = 328,8 - (-13,32)^2 \)

\( D(X) = 328,8 - 177,4224 \)

\( D(X) = 151,3776 \)

Среднее квадратичное отклонение $$\sigma$$ (Х):

\( \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \)

\( \sigma(X) = \sqrt{151,3776} \approx 12,30 \)

Вариант 2

Математическое ожидание М(Х):

\( M(X) = (-1 \cdot 0,2) + (-2 \cdot 0,3) + (-3 \cdot 0,2) + (-10 \cdot 0,06) + (-12 \cdot 0,1) + (-20 \cdot 0,006) + (-30 \cdot 0,1) + (-40 \cdot 0,034) \)

\( M(X) = -0,2 - 0,6 - 0,6 - 0,6 - 1,2 - 0,12 - 3 - 1,36 \)

\( M(X) = -7,68 \)

Дисперсия D(X):

\( M(X^2) = ((-1)^2 \cdot 0,2) + ((-2)^2 \cdot 0,3) + ((-3)^2 \cdot 0,2) + ((-10)^2 \cdot 0,06) + ((-12)^2 \cdot 0,1) + ((-20)^2 \cdot 0,006) + ((-30)^2 \cdot 0,1) + ((-40)^2 \cdot 0,034) \)

\( M(X^2) = (1 \cdot 0,2) + (4 \cdot 0,3) + (9 \cdot 0,2) + (100 \cdot 0,06) + (144 \cdot 0,1) + (400 \cdot 0,006) + (900 \cdot 0,1) + (1600 \cdot 0,034) \)

\( M(X^2) = 0,2 + 1,2 + 1,8 + 6 + 14,4 + 2,4 + 90 + 54,4 \)

\( M(X^2) = 170,4 \)

\( D(X) = 170,4 - (-7,68)^2 \)

\( D(X) = 170,4 - 58,9824 \)

\( D(X) = 111,4176 \)

Среднее квадратичное отклонение $$\sigma$$ (Х):

\( \sigma(X) = \sqrt{111,4176} \approx 10,56 \)

Вариант 3

Математическое ожидание М(Х):

\( M(X) = (-1 \cdot 0,1) + (-2 \cdot 0,3) + (-3 \cdot 0,1) + (-10 \cdot 0,005) + (-12 \cdot 0,1) + (-20 \cdot 0,005) + (-30 \cdot 0,3) + (-40 \cdot 0,09) \)

\( M(X) = -0,1 - 0,6 - 0,3 - 0,05 - 1,2 - 0,1 - 9 - 3,6 \)

\( M(X) = -14,95 \)

Дисперсия D(X):

\( M(X^2) = ((-1)^2 \cdot 0,1) + ((-2)^2 \cdot 0,3) + ((-3)^2 \cdot 0,1) + ((-10)^2 \cdot 0,005) + ((-12)^2 \cdot 0,1) + ((-20)^2 \cdot 0,005) + ((-30)^2 \cdot 0,3) + ((-40)^2 \cdot 0,09) \)

\( M(X^2) = (1 \cdot 0,1) + (4 \cdot 0,3) + (9 \cdot 0,1) + (100 \cdot 0,005) + (144 \cdot 0,1) + (400 \cdot 0,005) + (900 \cdot 0,3) + (1600 \cdot 0,09) \)

\( M(X^2) = 0,1 + 1,2 + 0,9 + 0,5 + 14,4 + 2 + 270 + 144 \)

\( M(X^2) = 433,1 \)

\( D(X) = 433,1 - (-14,95)^2 \)

\( D(X) = 433,1 - 223,5025 \)

\( D(X) = 209,5975 \)

Среднее квадратичное отклонение $$\sigma$$ (Х):

\( \sigma(X) = \sqrt{209,5975} \approx 14,48 \)

Вариант 4

Математическое ожидание М(Х):

\( M(X) = (-1 \cdot 0,2) + (-2 \cdot 0,4) + (-3 \cdot 0,1) + (-10 \cdot 0,002) + (-12 \cdot 0,1) + (-20 \cdot 0,09) + (-30 \cdot 0,1) + (-40 \cdot 0,008) \)

\( M(X) = -0,2 - 0,8 - 0,3 - 0,02 - 1,2 - 1,8 - 3 - 0,32 \)

\( M(X) = -7,64 \)

Дисперсия D(X):

\( M(X^2) = ((-1)^2 \cdot 0,2) + ((-2)^2 \cdot 0,4) + ((-3)^2 \cdot 0,1) + ((-10)^2 \cdot 0,002) + ((-12)^2 \cdot 0,1) + ((-20)^2 \cdot 0,09) + ((-30)^2 \cdot 0,1) + ((-40)^2 \cdot 0,008) \)

\( M(X^2) = (1 \cdot 0,2) + (4 \cdot 0,4) + (9 \cdot 0,1) + (100 \cdot 0,002) + (144 \cdot 0,1) + (400 \cdot 0,09) + (900 \cdot 0,1) + (1600 \cdot 0,008) \)

\( M(X^2) = 0,2 + 1,6 + 0,9 + 0,2 + 14,4 + 36 + 90 + 12,8 \)

\( M(X^2) = 156,1 \)

\( D(X) = 156,1 - (-7,64)^2 \)

\( D(X) = 156,1 - 58,3696 \)

\( D(X) = 97,7304 \)

Среднее квадратичное отклонение $$\sigma$$ (Х):

\( \sigma(X) = \sqrt{97,7304} \approx 9,89 \)

Вариант 5

Математическое ожидание М(Х):

\( M(X) = (-1 \cdot 0,1) + (-2 \cdot 0,2) + (-3 \cdot 0,1) + (-10 \cdot 0,008) + (-12 \cdot 0,2) + (-20 \cdot 0,09) + (-30 \cdot 0,3) + (-40 \cdot 0,002) \)

\( M(X) = -0,1 - 0,4 - 0,3 - 0,08 - 2,4 - 1,8 - 9 - 0,08 \)

\( M(X) = -14,16 \)

Дисперсия D(X):

\( M(X^2) = ((-1)^2 \cdot 0,1) + ((-2)^2 \cdot 0,2) + ((-3)^2 \cdot 0,1) + ((-10)^2 \cdot 0,008) + ((-12)^2 \cdot 0,2) + ((-20)^2 \cdot 0,09) + ((-30)^2 \cdot 0,3) + ((-40)^2 \cdot 0,002) \)

\( M(X^2) = (1 \cdot 0,1) + (4 \cdot 0,2) + (9 \cdot 0,1) + (100 \cdot 0,008) + (144 \cdot 0,2) + (400 \cdot 0,09) + (900 \cdot 0,3) + (1600 \cdot 0,002) \)

\( M(X^2) = 0,1 + 0,8 + 0,9 + 0,8 + 28,8 + 36 + 270 + 3,2 \)

\( M(X^2) = 340,6 \)

\( D(X) = 340,6 - (-14,16)^2 \)

\( D(X) = 340,6 - 200,5056 \)

\( D(X) = 140,0944 \)

Среднее квадратичное отклонение $$\sigma$$ (Х):

\( \sigma(X) = \sqrt{140,0944} \approx 11,84 \)

Вариант 6

Математическое ожидание М(Х):

\( M(X) = (-1 \cdot 0,3) + (-2 \cdot 0,2) + (-3 \cdot 0,1) + (-10 \cdot 0,003) + (-12 \cdot 0,2) + (-20 \cdot 0,095) + (-30 \cdot 0,1) + (-40 \cdot 0,002) \)

\( M(X) = -0,3 - 0,4 - 0,3 - 0,03 - 2,4 - 1,9 - 3 - 0,08 \)

\( M(X) = -8,41 \)

Дисперсия D(X):

\( M(X^2) = ((-1)^2 \cdot 0,3) + ((-2)^2 \cdot 0,2) + ((-3)^2 \cdot 0,1) + ((-10)^2 \cdot 0,003) + ((-12)^2 \cdot 0,2) + ((-20)^2 \cdot 0,095) + ((-30)^2 \cdot 0,1) + ((-40)^2 \cdot 0,002) \)

\( M(X^2) = (1 \cdot 0,3) + (4 \cdot 0,2) + (9 \cdot 0,1) + (100 \cdot 0,003) + (144 \cdot 0,2) + (400 \cdot 0,095) + (900 \cdot 0,1) + (1600 \cdot 0,002) \)

\( M(X^2) = 0,3 + 0,8 + 0,9 + 0,3 + 28,8 + 38 + 90 + 3,2 \)

\( M(X^2) = 162,3 \)

\( D(X) = 162,3 - (-8,41)^2 \)

\( D(X) = 162,3 - 70,7281 \)

\( D(X) = 91,5719 \)

Среднее квадратичное отклонение $$\sigma$$ (Х):

\( \sigma(X) = \sqrt{91,5719} \approx 9,57 \)

Ответ: Результаты расчетов для каждого варианта приведены выше.