Задание 1. Найдите неопределённый интеграл: 1) ∫ −x dx; 2) ∫ x² dx; 3) ∫ x⁵ dx; 4) ∫ (1/3)t³ dt; 5) ∫ (3 − x) dx; 6) ∫ (4x − x²) dx; 7) ∫ 5(x − 2) dx; 8) ∫ (8x³ + 4x − 7) dx; 9) ∫ x²(1 + 3x) dx; 10) ∫ 4√x dx.

Используем линейность интеграла и правило степенной первообразной: \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) при \(n\ne -1\). В каждом пункте \(C\) — произвольная постоянная.

1. \(\int -x\,dx=-\frac{x^2}{2}+C.\)
2. \(\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C.\)
3. \(\int x^5\,dx=\frac{x^6}{6}+C.\)
4. \(\int \frac{1}{3}t^3\,dt=\frac{1}{3}\cdot\frac{t^4}{4}+C=\frac{t^4}{12}+C.\)
5. \(\int(3-x)\,dx=3x-\frac{x^2}{2}+C.\)
6. \(\int(4x-x^2)\,dx=2x^2-\frac{x^3}{3}+C.\)
7. \(\int5(x-2)\,dx=\int(5x-10)\,dx=\frac{5x^2}{2}-10x+C.\)
8. \(\int(8x^3+4x-7)\,dx=2x^4+2x^2-7x+C.\)
9. Раскрываем скобки: \(x^2(1+3x)=x^2+3x^3\). Тогда \(\int x^2(1+3x)\,dx=\frac{x^3}{3}+\frac{3x^4}{4}+C.\)
10. Представляем корень как степень: \(4\sqrt{x}=4x^{1/2}\). Поэтому \(\int4\sqrt{x}\,dx=4\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{8}{3}x^{3/2}+C.\)