Задание №1. Найдите углы параллелограмма. 1) В параллелограмме RLMK диагонали пересекаются в точке O; отмеченные половины диагоналей равны. 2) В параллелограмме PKST диагональ PS делит угол P на ∠1 и ∠2; ∠1 : ∠2 = 2 : 1, ∠1 − ∠2 = 30°. 3) В параллелограмме SFTM диагонали перпендикулярны; ∠1 − ∠2 = 10°, где ∠1 и ∠2 — углы треугольника SFO при вершинах F и S.

1) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Отметки показывают, что их половины равны, значит, диагонали равны. Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.

Все углы прямоугольника равны 90°.

2) Пусть ∠2 = x, тогда ∠1 = 2x. По условию: 2x − x = 30°, откуда x = 30°. Значит, ∠1 = 60°, ∠2 = 30°. Угол P равен их сумме: 60° + 30° = 90°. Смежные углы параллелограмма в сумме дают 180°, а противоположные равны, поэтому все его углы прямые.

3) Диагонали перпендикулярны, поэтому в треугольнике SFO углы при O, F и S в сумме дают 180°, а ∠O = 90°. Следовательно, ∠1 + ∠2 = 90°. Вместе с ∠1 − ∠2 = 10° получаем ∠1 = 50°, ∠2 = 40°. Диагональ ромба делит углы при вершинах пополам; здесь параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Поэтому углы F и M равны 100°, а углы S и T — 80°.

Ответ: 1) 90°, 90°, 90°, 90°; 2) 90°, 90°, 90°, 90°; 3) ∠F = ∠M = 100°, ∠S = ∠T = 80°.