Задание 1. Найдите значение выражения: б) $$\frac{8^{\log_{64} 16}}{\log_{\frac{1}{5}} 625}$$ (10 баллов);

Привет! Давай разберемся с этим заданием по математике. Нам нужно найти значение выражения:

• \[ \frac{8^{\log_{64} 16}}{\log_{\frac{1}{5}} 625} \]

Шаг 1: Вычислим показатель степени в числителе.

• Сначала найдем значение логарифма \[ \log_{64} 16 \]
• Пусть \[ \log_{64} 16 = x \]
• Тогда по определению логарифма: \[ 64^x = 16 \]
• Представим числа как степени тройки: \[ (4^3)^x = 4^2 \]
• \[ 4^{3x} = 4^2 \]
• Приравниваем показатели степеней: \[ 3x = 2 \]
• \[ x = \frac{2}{3} \]
• Теперь подставим это значение в числитель: \[ 8^{\frac{2}{3}} \]
• \[ 8^{\frac{2}{3}} = (8^{1/3})^2 = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \]

Шаг 2: Вычислим знаменатель.

• Найдем значение логарифма \[ \log_{\frac{1}{5}} 625 \]
• Пусть \[ \log_{\frac{1}{5}} 625 = y \]
• Тогда по определению логарифма: \[ (\frac{1}{5})^y = 625 \]
• Представим числа как степени пятерки: \[ (5^{-1})^y = 5^4 \]
• \[ 5^{-y} = 5^4 \]
• Приравниваем показатели степеней: \[ -y = 4 \]
• \[ y = -4 \]

Шаг 3: Найдем значение всего выражения.

• Теперь поделим значение числителя на значение знаменателя: \[ \frac{4}{-4} = -1 \]

Ответ:

Ответ: -1