Ответ:

Слитно пишется НЕ с прилагательным, если слово без НЕ не употребляется или нет противопоставления и слово можно заменить близким по смыслу. Раздельно — при противопоставлении с союзом «а» или усилительном отрицании.

  1. ненастная погода — слитно: без НЕ слово «настная» не употребляется.
  2. неаккуратный почерк — слитно: можно заменить словом «неряшливый».
  3. совсем невесёлый вид — слитно: «совсем» означает «весьма, очень».
  4. неродной сын — слитно: утверждается признак, противопоставления нет.
  5. не широкий, а узкий — раздельно: есть противопоставление.
  6. нешироким реки — вероятно, в исходной строке имеется в виду «нешироким»; слитно при отсутствии противопоставления. Сочетание «нешироким реки» грамматически не согласуется, поэтому точная форма строки неясна.
  7. не громкий, а тихий — раздельно: противопоставление.
  8. ничуть не громкий — раздельно: «ничуть» усиливает отрицание.
  9. неуклюжий зверь — слитно: слово без НЕ не употребляется.
  10. неразговорчивый сосед — слитно: можно заменить словом «молчаливый».
  11. неглубокий овраг — слитно: противопоставления нет.
  12. совсем неглубокий — слитно: «совсем» означает «очень».
  13. не глубокий, а узкий — раздельно: противопоставление.
  14. несложный пример — слитно: можно заменить словом «лёгкий».
  15. рассказ невесёл — слитно: краткое прилагательное без противопоставления.