Задание: 1) Опишите теоретическую базу решения математической задачи (перечислить формулы, понятия, операции и т.п.) 2) Преобразуйте данную задачу в контекстную, обеспечивающую развитие функциональной грамотности обучающихся.

Теоретическая база решения уравнения \( 2|6700 - x| = |x - 4300| \)

Для решения данного уравнения необходимо знать и применять следующие понятия:

• Модуль числа: \( |a| \) — это расстояние от нуля до числа \( a \) на числовой прямой. \( |a| = a \) при \( a \ge 0 \) и \( |a| = -a \) при \( a < 0 \).
• Свойства модулей: \( |a · b| = |a| · |b| \), \( |a/b| = |a|/|b| \), \( |a|^2 = a^2 \).
• Алгебраические преобразования: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, решение линейных и квадратных уравнений.
• Квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) решается с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \) и формул корней \( x_{1,2} = \frac{-b ± √{D}}{2a} \).
• Методы решения уравнений с модулями:
• Метод интервалов (или метод раскрытия модулей по случаям): Определение знаков выражений под модулями на различных интервалах числовой прямой и решение уравнения для каждого интервала.
• Метод возведения в квадрат: Поскольку \( |a|^2 = a^2 \), можно возвести обе части уравнения в квадрат. Этот метод эффективен, когда обе части уравнения неотрицательны.

Контекстная задача для развития функциональной грамотности

Задача:

Два туристических бюро, «Горизонт» и «Ветер странствий», предлагают разные пакеты туров. Тур «Горизонт» предлагает путевку на 7 дней, стоимость которой составляет 6700 рублей за первые 7 дней, и далее цена снижается на 1 рубль за каждый дополнительный день пребывания. Тур «Ветер странствий» предлагает аналогичный тур, но начальная стоимость составляет 4300 рублей, и цена растет на 1 рубль за каждый дополнительный день пребывания (начиная с первого дня).

Вопрос:

При каком количестве дней пребывания общая стоимость двух туров будет одинаковой, если первый тур длится \( x \) дней, а второй тур длится \( x \) дней, но в начальный период \( x < 6700 \)?

Решение:

Стоимость тура «Горизонт» за \( x \) дней, если \( x \ge 7 \), можно представить как \( C_{горизонт} = 6700 - (x - 7) \) или \( C_{горизонт} = 6707 - x \) при \( x \ge 7 \). Если \( x < 7 \), то стоимость \( C_{горизонт} = 6700 \).

Стоимость тура «Ветер странствий» за \( x \) дней, как было определено в исходной задаче, не является линейной. Однако, если предположить, что задача подразумевает сравнение некоторой переменной \( x \) с двумя фиксированными значениями, и если бы задача была сформулирована иначе, например, о разнице в ценах, то исходное уравнение \( 2|6700 - x| = |x - 4300| \) могло бы моделировать какую-то другую ситуацию. Для иллюстрации контекста, переформулируем задачу:

Переформулированная контекстная задача:

Два предприятия производят детали. Предприятие А производит \( 6700 \) деталей в смену, но каждый дополнительный час работы \( x \) снижает производительность на \( 1 \) деталь. Предприятие Б производит \( 4300 \) деталей в смену, и каждый дополнительный час работы \( x \) увеличивает производительность на \( 1 \) деталь. Сколько часов \( x \) нужно работать каждому предприятию, чтобы общее удвоенное производство предприятия А было равно производству предприятия Б?

Решение:

Производство предприятия А: \( 6700 - x \) деталей.

Производство предприятия Б: \( 4300 + x \) деталей.

Условие задачи: \( 2 · (6700 - x) = 4300 + x \).

Это соответствует исходному уравнению \( 2|6700 - x| = |x - 4300| \) при условии, что \( 6700 - x ³ 0 \) и \( x - 4300 ³ 0 \).

Решая \( 2(6700 - x) = x - 4300 \):

• \( 13400 - 2x = x - 4300 \)
• \( 3x = 17700 \)
• \( x = 5900 \)

В этом случае \( 6700 - 5900 = 800 ³ 0 \) и \( 5900 - 4300 = 1600 ³ 0 \), что соответствует условиям.

Если же \( x \) настолько велико, что \( 6700 - x < 0 \), то есть \( x > 6700 \), а \( x - 4300 > 0 \), то уравнение будет \( 2(-(6700 - x)) = x - 4300 \) или \( 2(x - 6700) = x - 4300 \), что дает \( 2x - 13400 = x - 4300 \), \( x = 9100 \).

Функциональная грамотность: Учащиеся должны понять, как математические модели (уравнения с модулем) могут описывать реальные жизненные ситуации, где величины могут изменяться как в сторону увеличения, так и уменьшения, и как выбор правильного метода решения (или интерпретации результатов) влияет на корректность ответа.

Ответ: Количество часов \( x \) может быть 5900 или 9100, в зависимости от того, как изменяется производительность в каждом из случаев.