Задание №1. Построение и доказательство: а) Нарисуйте прямоугольный треугольник со стороной гипотенузы 15 см. б) Проведите медиану из вершины прямого угла к середине гипотенузы. в) Измерьте и запишите длину медианы. г) Объясните, почему полученное значение совпадает с половиной гипотенузы.

Построим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и гипотенузой AB = 15 см. Для наглядности выберем катеты AC = 9 см и BC = 12 см: по теореме Пифагора \(9^2+12^2=15^2\).

1. Середина гипотенузы AB — точка M, поэтому \(AM=MB=\frac{15}{2}=7.5\) см.
2. Проводим отрезок CM из вершины прямого угла C к точке M.
3. Измеряем медиану: \(CM=7.5\) см.

В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин. Поэтому \(AM=BM=CM\). Так как M — середина гипотенузы, \(AM=BM=7.5\) см, следовательно, \(CM=7.5\) см.

Ответ: длина медианы равна половине гипотенузы: \(CM=15:2=7.5\) см.