Задание 1: Расположите дроби в порядке возрастания: \(\frac{6}{8}, \frac{8}{24}, \frac{38 \cdot 12}{3 \cdot 19}\). Выполните действия: \(\frac{2}{5} - \frac{9}{20}\), \(\frac{23}{45} - \frac{11}{70}\), \(\frac{1}{8} + \frac{7}{12} - \frac{5}{9}\). При каких натуральных значениях букв равны дроби: \(\frac{a}{16}\), \(\frac{1}{5} n\), \(\frac{6}{n}\)? Решите уравнение: \(\frac{12}{15} - x = \frac{17}{30}\). Найдите число, которое на столько же меньше \(7\frac{3}{4}\), на сколько \(6\frac{5}{12}\) меньше \(2\frac{7}{24}\).

Задание 1:

1. Расположите дроби в порядке возрастания:

1. Приведем дроби к общему знаменателю или вычислим их значения:
   • \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75\)
   • \(\frac{8}{24} = \frac{1}{3} \approx 0.33\)
   • \(\frac{38 \cdot 12}{3 \cdot 19} = \frac{2 \cdot 12}{3} = \frac{24}{3} = 8\)
2. В порядке возрастания: \(\frac{1}{3}, \frac{3}{4}, 8\).

2. Выполните действия:

• \(\frac{2}{5} - \frac{9}{20} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{9}{20} = \frac{8}{20} - \frac{9}{20} = -\frac{1}{20}\)
• \(\frac{23}{45} - \frac{11}{70}\)
• Общий знаменатель для 45 и 70: \(45 = 5 \cdot 9 = 5 \cdot 3^2\), \(70 = 7 \cdot 10 = 7 \cdot 2 \cdot 5\). НОК(45, 70) = \(2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 10 \cdot 9 \cdot 7 = 630\).
• \(\frac{23 \cdot 14}{45 \cdot 14} - \frac{11 \cdot 9}{70 \cdot 9} = \frac{322}{630} - \frac{99}{630} = \frac{223}{630}\)
• \(\frac{1}{8} + \frac{7}{12} - \frac{5}{9}\)
• Общий знаменатель для 8, 12, 9: \(8 = 2^3\), \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(9 = 3^2\). НОК(8, 12, 9) = \(2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\).
• \(\frac{1 \cdot 9}{8 \cdot 9} + \frac{7 \cdot 6}{12 \cdot 6} - \frac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{9}{72} + \frac{42}{72} - \frac{40}{72} = \frac{9 + 42 - 40}{72} = \frac{11}{72}\)

3. При каких натуральных значениях букв равны дроби:

• \(\frac{a}{16}\)
• \(\frac{1}{5} n\)
• \(\frac{6}{n}\)
• Из условия \(\frac{1}{5} = \frac{6}{n}\) следует \(n = 5 \cdot 6 = 30\).
• Тогда \(\frac{a}{16} = \frac{1}{5}\).
• \(a = \frac{16}{5}\). Так как \(a\) должно быть натуральным числом, то дробь \(\frac{a}{16}\) не может быть равна \(\frac{1}{5}\) при натуральном \(a\).
• Если имеется в виду \(\frac{1}{5} = \frac{6}{n}\), то \(n=30\).
• Если речь идет о том, когда \(\frac{a}{16} = \frac{1}{5} = \frac{6}{n}\), то \(n=30\) и \(a=\frac{16}{5}\) (не натуральное).
• Если в задании имелось в виду \(\frac{a}{16} = \frac{1}{5}\) и \(\frac{6}{n}\), то \(a = \frac{16}{5}\) (не натуральное), \(n=30\).
• Если подразумевается, что \(\frac{a}{16} = \frac{1}{5}n\) и \(\frac{a}{16} = \frac{6}{n}\), то \(\frac{1}{5}n = \frac{6}{n} \Rightarrow n^2 = 30 \Rightarrow n = \sqrt{30}\) (не натуральное).
• Вероятно, имелось в виду \(\frac{a}{16} = \frac{1}{5} \text{ и } \frac{6}{n}\). Тогда \(a = \frac{16}{5}\) (не натуральное), \(n = 30\).
• Если \(\frac{a}{16} = \frac{1}{5} \text{ и } \frac{b}{n} = \frac{6}{n}\) тогда \(a=\frac{16}{5}\) не натуральное.
• С учетом красных пометок, скорее всего, имелось в виду \(\frac{a}{16} = \frac{1}{5}\) и \(\frac{6}{n}\). \(a=\frac{16}{5}\) - не натуральное. \(n = 30\).
• Если \(\frac{a}{16} = \frac{1}{5}\) и \(\frac{m}{32} = \frac{6}{n}\), то \(a=\frac{16}{5}\) (не натуральное), \(n=30\).
• Если \(\frac{a}{16} = \frac{1}{5}\) и \(\frac{1}{9} = \frac{3}{b}\), то \(a=\frac{16}{5}\) (не натуральное), \(b=27\).
• При натуральных значениях буквы \(n\) равны дроби, если \(n = 30\). Для \(a\) натурального значения нет.

4. Решите уравнение:

• \(\frac{12}{15} - x = \frac{17}{30}\)
• \(\frac{12}{15} = \frac{12 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{24}{30}\)
• \(\frac{24}{30} - x = \frac{17}{30}\)
• \(x = \frac{24}{30} - \frac{17}{30}\)
• \(x = \frac{7}{30}\)

5. Найдите число, которое на столько же меньше \(7\frac{3}{4}\), на сколько \(6\frac{5}{12}\) меньше \(2\frac{7}{24}\):

• Найдем, на сколько \(6\frac{5}{12}\) меньше \(2\frac{7}{24}\):
• \(2\frac{7}{24} - 6\frac{5}{12} = \frac{2 \cdot 24 + 7}{24} - \frac{6 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{55}{24} - \frac{77}{12} = \frac{55}{24} - \frac{77 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{55}{24} - \frac{154}{24} = -\frac{99}{24}\)
• Это означает, что \(6\frac{5}{12}\) больше \(2\frac{7}{24}\) на \(\frac{99}{24}\) или \(4\frac{3}{24} = 4\frac{1}{8}\).
• По условию, искомое число \(x\) такое, что \(7\frac{3}{4} - x = 4\frac{1}{8}\).
• \(x = 7\frac{3}{4} - 4\frac{1}{8} = \frac{7 \cdot 4 + 3}{4} - \frac{4 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{31}{4} - \frac{33}{8} = \frac{31 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{33}{8} = \frac{62}{8} - \frac{33}{8} = \frac{29}{8}\)
• \(x = 3\frac{5}{8}\)

Ответ: 1. \(\frac{1}{3}, \frac{3}{4}, 8\). 2. \(-\frac{1}{20}\), \(\frac{223}{630}\), \(\frac{11}{72}\). 3. \(n = 30\). Для \(a\) натурального значения нет. 4. \(x = \frac{7}{30}\). 5. \(3\frac{5}{8}\).