Задание № 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и методом Крамера: x₁ − x₂ + 2x₃ = −1; 3x₁ + 2x₂ − 2x₃ = −4; 5x₁ − 2x₂ + 4x₃ = −1.

Метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и выполним преобразования строк:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&2&-1\\3&2&-2&-4\\5&-2&4&-1\end{array}\right)\xrightarrow{R_2-3R_1,\;R_3-5R_1}\left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&2&-1\\0&5&-8&-1\\0&3&-6&4\end{array}\right).\]

Заменим третью строку на \(5R_3-3R_2\):

\[\left(\begin{array}{rrr|r}1&-1&2&-1\\0&5&-8&-1\\0&0&-6&23\end{array}\right).\]

Отсюда \(x_3=-\frac{23}{6}\). Из второй строки: \(5x_2-8(-\frac{23}{6})=-1\), поэтому \(x_2=-\frac{37}{3}\). Из первой строки: \(x_1-x_2+2x_3=-1\), поэтому \(x_1=-\frac{52}{3}\).

Проверим вычисления: в исходной системе эти значения дают соответственно \(-1\), \(-4\) и \(-1\).

Метод Крамера. Для матрицы коэффициентов \(A\) определитель \(\Delta=\begin{vmatrix}1&-1&2\\3&2&-2\\5&-2&4\end{vmatrix}=-6\ne0\), поэтому система имеет единственное решение. Определители при замене столбцов на столбец свободных членов:

\[\Delta_1=\begin{vmatrix}-1&-1&2\\-4&2&-2\\-1&-2&4\end{vmatrix}=104,\quad \Delta_2=\begin{vmatrix}1&-1&2\\3&-4&-2\\5&-1&4\end{vmatrix}=74,\quad \Delta_3=\begin{vmatrix}1&-1&-1\\3&2&-4\\5&-2&-1\end{vmatrix}=23.\]

Следовательно, \(x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=-\frac{52}{3}\), \(x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=-\frac{37}{3}\), \(x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}=-\frac{23}{6}\).

Ответ: \(\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(-\frac{52}{3},-\frac{37}{3},-\frac{23}{6}\right)\).