Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Метод Крамера. Матрица коэффициентов имеет определитель
\(\Delta=\begin{vmatrix}1&1&-3\\2&-1&-6\\-1&1&4\end{vmatrix}=-3\ne0.\)
Заменяем по очереди столбцы матрицы коэффициентов столбцом свободных членов:
\(\Delta_x=\begin{vmatrix}-3&1&-3\\9&-1&-6\\-6&1&4\end{vmatrix}=-15,\quad \Delta_y=\begin{vmatrix}1&-3&-3\\2&9&-6\\-1&-6&4\end{vmatrix}=15,\quad \Delta_z=\begin{vmatrix}1&1&-3\\2&-1&9\\-1&1&-6\end{vmatrix}=-3.\)
По формулам Крамера: \(x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=5,\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=-5,\quad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=1.\)
Матричный метод. Записываем систему как \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), где \(A=\begin{pmatrix}1&1&-3\\2&-1&-6\\-1&1&4\end{pmatrix}\), \(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\), \(\mathbf{b}=\begin{pmatrix}-3\\9\\-6\end{pmatrix}\). Так как \(\det A=-3\), матрица обратима, и
\(A^{-1}=\frac{1}{-3}\begin{pmatrix}2&-7&-9\\-2&1&0\\1&-2&-3\end{pmatrix}.\)
Следовательно, \(\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=\frac{1}{-3}\begin{pmatrix}-15\\15\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-5\\1\end{pmatrix}.\)
Метод Гаусса. Преобразуем расширенную матрицу системы:
\(\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-3&-3\\2&-1&-6&9\\-1&1&4&-6\end{array}\right)\xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3+R_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-3&-3\\0&-3&0&15\\0&2&1&-9\end{array}\right).\)
Из второй строки получаем \(y=-5\). Умножая третью строку исходной после преобразования матрицы на 3 и прибавляя удвоенную вторую, получаем \(3z=3\), значит \(z=1\). Подстановка в первую строку даёт \(x-5-3=-3\), откуда \(x=5\).
Ответ: \(x=5,\ y=-5,\ z=1\).
