Задание №1. Решите неравенство: а) 3(4x − 1) − 2x < 10; б) (x² − 7x + 12)/(x² − 4) ≤ 0; в) |3x + 2| < 8; г) 2|x − 3| + x ≥ |x + 1| + 4.

а) Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\(3(4x-1)-2x<10\)

\(12x-3-2x<10\), поэтому \(10x<13\).

Делим на положительное число 10, знак неравенства не меняется: \(x<\frac{13}{10}\).

Ответ: \(x\in(-\infty;\frac{13}{10})\).

б) Разложим числитель и знаменатель на множители:

\[\frac{x^2-7x+12}{x^2-4}=\frac{(x-3)(x-4)}{(x-2)(x+2)}\le 0.\]

Область определения: \(x\ne-2\) и \(x\ne2\). Критические точки: \(-2,2,3,4\). По знакам множителей дробь неположительна на промежутках \((-2;2)\) и \([3;4]\). Точки 3 и 4 включаются, поскольку обращают числитель в ноль; точки −2 и 2 исключаются, поскольку обращают знаменатель в ноль.

Ответ: \(x\in(-2;2)\cup[3;4]\).

в) Используем правило \(|A|0\):

\(-8<3x+2<8\), откуда \(-10<3x<6\). Делим на 3:

Ответ: \(x\in(-\frac{10}{3};2)\).

г) Точки смены знака выражений под модулями: \(x=-1\) и \(x=3\). Решим по промежуткам.

Если \(x<-1\), то \(|x-3|=3-x\), \(|x+1|=-x-1\). Получаем \(2(3-x)+x\ge -x-1+4\), то есть \(6-x\ge3-x\), что верно для всех \(x<-1\).

Если \(-1\le x<3\), то \(|x-3|=3-x\), \(|x+1|=x+1\). Получаем \(6-x\ge2x+5\), откуда \(x\le\frac13\). На этом промежутке решение — \([-1;\frac13]\).

Если \(x\ge3\), то \(|x-3|=x-3\), \(|x+1|=x+1\). Получаем \(3x-6\ge x+5\), откуда \(x\ge\frac{11}{2}\).

Объединяем подходящие части промежутков.

Ответ: \(x\in(-\infty;\frac13]\cup[\frac{11}{2};+\infty)\).