Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Задание 1. Решите уравнения: 1) \(2^{4x}=8\); 2) \(9^{x-5}=1\); 3) \(6^{4x^2-2x}=36\); 4) \(27^x=5^{3x}\); 5) \(3^{1-2x}=1\);…Фото задания

Ответ:

  1. Представим правую часть как степень двойки: \(8=2^3\). Тогда \(2^{4x}=2^3\), откуда \(4x=3\) и \(x=\frac{3}{4}\).

  2. Поскольку основание \(9\ne1\), степень равна единице только при нулевом показателе: \(x-5=0\), поэтому \(x=5\).

  3. Представим \(36=6^2\). Тогда \(4x^2-2x=2\), то есть \(2x^2-x-1=0\). Разложим: \((2x+1)(x-1)=0\). Следовательно, \(x=-\frac{1}{2}\) или \(x=1\).

  4. Запишем \(27^x=3^{3x}\). Уравнение становится \(3^{3x}=5^{3x}\). Так как основания различны, равенство возможно лишь при \(3x=0\), поэтому \(x=0\).

  5. Степень с основанием \(3\) равна единице, когда показатель равен нулю: \(1-2x=0\). Значит, \(x=\frac{1}{2}\).

  6. Преобразуем: \((\frac{1}{7})^{1-x}=7^{x-1}\). Обозначим \(t=7^x\), где \(t>0\). Получаем \(t-\frac{t}{7}=6\), откуда \(\frac{6t}{7}=6\), \(t=7\). Значит, \(7^x=7\) и \(x=1\).

  7. Пусть \(t=2^x\), где \(t>0\). Тогда \(2^{2x+1}=2t^2\), поэтому \(2t^2+7t-4=0\). Разложим: \((2t-1)(t+4)=0\). С учётом \(t>0\) получаем \(t=\frac{1}{2}\), следовательно, \(2^x=2^{-1}\) и \(x=-1\).

Ответ: 1) \(\frac{3}{4}\); 2) \(5\); 3) \(-\frac{1}{2}, 1\); 4) \(0\); 5) \(\frac{1}{2}\); 6) \(1\); 7) \(-1\).