Задание 1. Решите уравнения: А) $2\cos^2\frac{x}{2}+\sqrt3\cos\frac{x}{2}=0$; Б) $\sqrt3\sin3x=\cos3x$; В) $2\cos(2\pi+5x)+\sin\left(\frac\pi2+5x\right)=3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 1. Решите уравнения: А) $2\cos^2\frac{x}{2}+\sqrt3\cos\frac{x}{2}=0$; Б) $\sqrt3\sin3x=\cos3x$; В)…$ Фото задания

Accepted Answer

А)

Положим $t=\frac{x}{2}$. Тогда

\[2\cos^2 t+\sqrt3\cos t=0,\]

\[\cos t\left(2\cos t+\sqrt3\right)=0.\]

1) $\cos t=0$, поэтому

\[t=\frac\pi2+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,\]

\[x=\pi+2\pi k.\]

2) $2\cos t+\sqrt3=0$, откуда

\[\cos t=-\frac{\sqrt3}{2}.\]

Следовательно,

\[t=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,\]

\[x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi k.\]

Ответ: $x=\pi+2\pi k$ или $x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Б)

Так как $\cos3x\neq0$ при решениях данного уравнения, делим обе части на $\cos3x$:

\[\sqrt3\tan3x=1,\]

\[\tan3x=\frac1{\sqrt3}.\]

Тогда

\[3x=\frac\pi6+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,\]

\[x=\frac\pi{18}+\frac{\pi k}{3}.\]

Ответ: $x=\frac\pi{18}+\frac{\pi k}{3}$, $k\in\mathbb Z$.

В)

Используем формулы приведения:

\[\cos(2\pi+5x)=\cos5x,\qquad \sin\left(\frac\pi2+5x\right)=\cos5x.\]

Получаем

\[2\cos5x+\cos5x=3,\]

\[3\cos5x=3,\]

\[\cos5x=1.\]

Следовательно,

\[5x=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,\]

\[x=\frac{2\pi k}{5}.\]

Ответ: $x=\frac{2\pi k}{5}$, $k\in\mathbb Z$.

Задание 1. Решите уравнения: А) \(2\cos^2\frac{x}{2}+\sqrt3\cos\frac{x}{2}=0\); Б) \(\sqrt3\sin3x=\cos3x\); В) \(2\cos(2\pi+5x)+\sin\left(\frac\pi2+5x\right)=3\).