Задание 1 (с возвращением) В мешке лежат 3 красных и 5 синих шаров. Наугад вытаскивают один шар, смотрят цвет, возвращают его обратно, затем вытаскивают второй шар. 4. Постройте дерево вероятностей. Обозначьте: К — красный, С — синий. Подпишите вероятности на каждом ребре. 5. Найдите вероятность события: «оба шара красные» 6. Найдите вероятность события: «шары разного цвета» (один красный, один синий в любом порядке)

Решение:

1. Дерево вероятностей:
   На первом шаге:
• Вероятность вытащить красный шар (К): \( P(K_1) = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8} \)
• Вероятность вытащить синий шар (С): \( P(C_1) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8} \)

На втором шаге (так как шар возвращается, вероятности те же):

• Вероятность вытащить красный шар (К): \( P(K_2) = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8} \)
• Вероятность вытащить синий шар (С): \( P(C_2) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8} \)

Структура дерева:

• Корень (начало)
• Ветви первого уровня: К (с вероятностью \( \frac{3}{8} \)) и С (с вероятностью \( \frac{5}{8} \))
• От каждой ветви первого уровня отходят ветви второго уровня: К (с вероятностью \( \frac{3}{8} \)) и С (с вероятностью \( \frac{5}{8} \))
• Полные пути: К-К, К-С, С-К, С-С.
2. Вероятность события «оба шара красные» (К-К):
   \( P(K_1 \text{ и } K_2) = P(K_1) \times P(K_2) = \frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64} \)
3. Вероятность события «шары разного цвета» (К-С или С-К):
   Вероятность события К-С: \( P(K_1 \text{ и } C_2) = P(K_1) \times P(C_2) = \frac{3}{8} \times \frac{5}{8} = \frac{15}{64} \)
   Вероятность события С-К: \( P(C_1 \text{ и } K_2) = P(C_1) \times P(K_2) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{15}{64} \>
   Общая вероятность: \( P(\text{разного цвета}) = P(K_1 \text{ и } C_2) + P(C_1 \text{ и } K_2) = \frac{15}{64} + \frac{15}{64} = \frac{30}{64} = \frac{15}{32} \)

Ответ: 5. \( \frac{9}{64} \); 6. \( \frac{15}{32} \).