Задание 1. Стороны MN и MP треугольника MNP пересекают плоскость α в точках A и B соответственно, при этом AB ∥ NP. а) Докажите, что прямая NP параллельна плоскости α. б) Найдите отрезок AB, если длина отрезка NP равна 24, а точка A делит сторону MN в отношении 1:3, начиная от вершины N.

а) Доказательство.

Точки A и B принадлежат плоскости α, поэтому прямая AB лежит в плоскости α. По условию \(AB \parallel NP\).

Плоскость треугольника MNP пересекает плоскость α по прямой AB. Так как прямая NP лежит в плоскости треугольника MNP и параллельна линии их пересечения AB, то она не пересекает плоскость α. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости:

\[NP \parallel \alpha.\]

б) Решение.

Так как \(AB \parallel NP\), треугольники \(MAB\) и \(MNP\) подобны.

Точка A делит сторону MN в отношении 1:3, начиная от вершины N, то есть:

\[NA:AM=1:3.\]

Следовательно, \(MN\) состоит из 4 равных частей, а \(MA\) — из 3 частей:

\[\frac{MA}{MN}=\frac{3}{4}.\]

Из подобия треугольников:

\[\frac{AB}{NP}=\frac{MA}{MN}=\frac{3}{4}.\]

Подставим \(NP=24\):

\[AB=24\cdot\frac{3}{4}=18.\]

Ответ: а) \(NP \parallel \alpha\); б) \(AB=18\).