Задание 1. Стороны MN и MP треугольника MNP пересекают плоскость α в точках A и B соответственно, причём AB ∥ NP. а) Докажите, что прямая NP параллельна плоскости α. б) Найдите длину отрезка AB, если NP = 24, а точка A делит сторону MN в отношении 1 : 3, начиная от вершины N.

а) Прямая AB лежит в плоскости α и в плоскости треугольника MNP. Так как эти плоскости пересекаются по прямой AB, а NP лежит в плоскости треугольника и параллельна AB, прямая NP не пересекает плоскость α. Следовательно, NP ∥ α.

б) Отношение, начиная от вершины N, означает NA : AM = 1 : 3, поэтому MA : MN = 3 : 4. Поскольку AB ∥ NP, треугольники MAB и MNP подобны. Тогда AB / NP = MA / MN = 3 / 4.

AB = 24 · 3 / 4 = 18.

Ответ: AB = 18.