Задание №1. Точка C лежит на отрезке AB, при этом AB = 4, AC = 1, BC = 3. Найдите множество точек M таких, что 3AM² + BM² + CM² = 17. Какую линию образуют такие точки? Введем прямоугольную систему координат: C — начало координат; отрезок AB лежит на оси абсцисс. Напишите уравнение этой линии в предложенной системе координат.

Выберем направление оси абсцисс так, чтобы координаты точек были A(−1; 0), C(0; 0), B(3; 0). Тогда для M(x; y): AM² = (x + 1)² + y², BM² = (x − 3)² + y², CM² = x² + y².

Подставим в условие:

3((x + 1)² + y²) + (x − 3)² + y² + x² + y² = 17.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: 5x² + 5y² + 12 = 17.

Следовательно, x² + y² = 1. Это окружность с центром в точке C и радиусом 1.

Ответ: окружность; уравнение x² + y² = 1.