Задание 1. Точка О — центр окружности, описанной около треугольника КРС. Означает ли это, что а) ОК=ОР; б) ∠KPO = ∠OPC; в) точка О может лежать на стороне данного треугольника?

Решение:

Точка О является центром описанной окружности около треугольника КРС. Это означает, что точка О равноудалена от всех вершин треугольника.

а) ОК=ОР;

Так как О — центр описанной окружности, то ОК и ОР являются радиусами этой окружности. Радиусы одной окружности равны. Следовательно, ОК = ОР.

б) ∠KPO = ∠OPC;

Рассмотрим треугольник КОР. ОК = ОР (как радиусы). Следовательно, треугольник КОР — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому ∠ОКР = ∠OPK. Условие ∠KPO = ∠OPC не следует напрямую из того, что О — центр описанной окружности. Это равенство углов могло бы выполняться, если бы ОС была биссектрисой угла КРМ (где М — некоторая точка), но это не является общим следствием.

в) точка О может лежать на стороне данного треугольника?

Точка О (центр описанной окружности) может лежать на стороне треугольника только в том случае, если треугольник прямоугольный. В этом случае центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Если же треугольник не прямоугольный, центр описанной окружности находится внутри него (остроугольный треугольник) или вне его (тупоугольный треугольник).

Ответ: а) Да; б) Нет, не обязательно; в) Да, если треугольник прямоугольный.