Задание №1. Угол при вершине D трапеции ABCD с основаниями AD и BC равен 45°. Найдите диагонали трапеции, если AD = 15, BC = 11 и CD = 5. AC = … и BD = …

Опустим из точки C перпендикуляр на основание AD. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой CD = 5 и углом 45° горизонтальная и вертикальная составляющие равны:

\(5\cos45^\circ=5\sin45^\circ=\dfrac{5\sqrt2}{2}\).

Для диагонали \(AC\) по теореме косинусов в треугольнике \(ACD\):

\[AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cos45^\circ.\]

\[AC^2=15^2+5^2-2\cdot15\cdot5\cdot\frac{\sqrt2}{2}=250-75\sqrt2.\]

Следовательно, \(AC=\sqrt{250-75\sqrt2}\).

Угол при вершине C равен 45°, поэтому в треугольнике \(BCD\):

\[BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cos45^\circ.\]

\[BD^2=11^2+5^2-2\cdot11\cdot5\cdot\frac{\sqrt2}{2}=146-55\sqrt2.\]

Следовательно, \(BD=\sqrt{146-55\sqrt2}\).

Ответ: \(AC=\sqrt{250-75\sqrt2}\), \(BD=\sqrt{146-55\sqrt2}\).