Задание 1. Упростите выражение и найдите его значение при x = 2 + 3√7, y = 2 – 3√7:

Решение:

Сначала упростим выражение:

• \[ \frac{\frac{3x}{x-y} - \frac{3y}{x+y}}{x^2 - 2xy + y^2} = \frac{\frac{3x(x+y) - 3y(x-y)}{(x-y)(x+y)}}{(x-y)^2}
• \[ = \frac{\frac{3x^2 + 3xy - 3xy + 3y^2}{x^2 - y^2}}{(x-y)^2}
• \[ = \frac{\frac{3x^2 + 3y^2}{x^2 - y^2}}{(x-y)^2}
• \[ = \frac{3(x^2 + y^2)}{(x^2 - y^2)(x-y)^2}

Теперь подставим значения x и y:

• $$x = 2 + 3\sqrt{7}$$
• $$y = 2 - 3\sqrt{7}$$
• $$x^2 = (2 + 3\sqrt{7})^2 = 4 + 12\sqrt{7} + 9 \cdot 7 = 4 + 12\sqrt{7} + 63 = 67 + 12\sqrt{7}$$
• $$y^2 = (2 - 3\sqrt{7})^2 = 4 - 12\sqrt{7} + 9 \cdot 7 = 4 - 12\sqrt{7} + 63 = 67 - 12\sqrt{7}$$
• $$x^2 + y^2 = (67 + 12\sqrt{7}) + (67 - 12\sqrt{7}) = 134$$
• $$x^2 - y^2 = (67 + 12\sqrt{7}) - (67 - 12\sqrt{7}) = 24\sqrt{7}$$
• $$x-y = (2 + 3\sqrt{7}) - (2 - 3\sqrt{7}) = 6\sqrt{7}$$
• $$(x-y)^2 = (6\sqrt{7})^2 = 36 \cdot 7 = 252$$

Подставим эти значения в упрощенное выражение:

• \[ \frac{3(x^2 + y^2)}{(x^2 - y^2)(x-y)^2} = \frac{3 \cdot 134}{24\sqrt{7} \cdot 252}
• \[ = \frac{402}{6048\sqrt{7}}
• \[ = \frac{1}{15\sqrt{7}}
• \[ = \frac{\sqrt{7}}{15 \cdot 7} = \frac{\sqrt{7}}{105}