Задание №1. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°. Высота, проведенная к основанию, равна \(2\sqrt{3}\). Найдите длину одной из оставшихся высот.

Угол в вершине при основании не может быть равен 120°, иначе два равных угла при основании в сумме превысили бы 180°. Значит, угол между равными сторонами равен 120°, а углы при основании равны по 30°.

Обозначим высоту к основанию через \(h_a=2\sqrt{3}\), а равную боковую сторону — через \(s\). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, \(h_a=s\sin 30^\circ\), поэтому \(s=2h_a=4\sqrt{3}\).

Площадь треугольника равна \(S=\frac12 s^2\sin 120^\circ=\frac12\cdot48\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3\).

Высота к одной из равных сторон равна \(h=\frac{2S}{s}=\frac{24\sqrt3}{4\sqrt3}=6\).

Ответ: 6.