Задание 1. В трапеции ABCD на боковых сторонах AB и CD выбраны точки P и Q так, что AP = 3BP и DQ = 3CQ. Докажите, что отрезок PQ параллелен основаниям трапеции, и найдите его длину, если AD = 16, BC = 4.

Поскольку основания трапеции параллельны, имеем AD ∥ BC.

1. Из AP = 3BP следует, что AP:PB = 3:1.
2. Проведём через P прямую, параллельную основаниям; пусть она пересекает CD в точке Q′. По теореме о пропорциональных отрезках, DQ′:Q′C = AP:PB = 3:1.
3. По условию DQ:CQ = 3:1. На отрезке CD точка с таким отношением единственна, значит, Q′ = Q. Следовательно, PQ ∥ AD и PQ ∥ BC.
4. Точки P и Q делят боковые стороны в одинаковом отношении: AP:PB = DQ:QC = 3:1. Поэтому длина параллельного основаниям отрезка равна взвешенному среднему длин оснований: PQ = (AD + 3BC)/4 = (16 + 3 · 4)/4 = 7.

Ответ: PQ параллелен основаниям трапеции; PQ = 7.