Задание №1. В треугольнике ABC известны величины двух углов: ∠BAC = 48°, ∠ABC = 84°. Высота BH и биссектриса AD пересекаются в точке O. Сравните длины следующих отрезков: HO и AO; AH и [название второго отрезка закрыто кнопкой на изображении]; BH и CH; BO и BD.

Найдём недостающий угол: \(\angle ACB=180°-48°-84°=48°\). Поэтому \(AB=BC\), так как против равных углов лежат равные стороны.

1. Сравнение HO и AO. Так как \(BH\perp AC\), угол \(AHO\) прямой. Биссектриса делит угол A пополам, поэтому \(\angle HAO=24°\). В прямоугольном треугольнике AHO отрезок AO — гипотенуза, значит, \(HO<AO\).

2. Сравнение AH со вторым отрезком. Его обозначение закрыто кнопкой на изображении, поэтому сравнение однозначно выполнить нельзя. Если там указано CH, то \(AH=AB\cos48°\), а \(CH=BC\cos48°\). Поскольку \(AB=BC\), получаем \(AH=CH\).

3. Сравнение BH и CH. В прямоугольном треугольнике BHC угол C равен 48°, поэтому \(BH=BC\sin48°\), а \(CH=BC\cos48°\). Так как \(48°>45°\), то \(\sin48°>\cos48°\), следовательно, \(BH>CH\).

4. Сравнение BO и BD. В треугольнике ABD углы при A и B равны 24° и 84°, поэтому \(\angle ADB=72°\). Так как O лежит на AD, \(\angle BDO=72°\). Кроме того, \(\angle OBD=42°\), поскольку BH перпендикулярна AC, а угол между BC и AC равен 48°. Тогда \(\angle BOD=180°-72°-42°=66°\). В треугольнике BOD напротив большего угла лежит большая сторона: \(BO>BD\).

Ответ: HO < AO; BH > CH; BO > BD. Сравнение AH со вторым отрезком зависит от его закрытого обозначения; если это CH, то AH = CH.