Задание 1. В треугольнике ABC провели медиану BM. Точки K и L — середины сторон AB и BC соответственно. Докажите, что отрезки BM и KL пересекаются и точкой пересечения каждый из них делится пополам.

Рассмотрим гомотетию с центром в точке B и коэффициентом \(\frac{1}{2}\).

Так как K — середина AB, а L — середина BC, при этой гомотетии точка A переходит в K, а точка C — в L. Поэтому отрезок AC переходит в отрезок KL.

Поскольку BM — медиана, M — середина AC. Значит, при той же гомотетии M переходит в точку N, которая является серединой KL. Образ точки M лежит на луче BM, причём \(BN=\frac{1}{2}BM\); следовательно, N — середина BM.

Итак, N принадлежит обоим отрезкам BM и KL и является серединой каждого из них. Значит, эти отрезки пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.