Задание № 1. Вершину A треугольника ABC соединили отрезками с точками на противолежащей стороне. На рисунке отмечены четыре равных друг другу угла. Какие из следующих утверждений верны? 1) Отрезок AQ — биссектриса треугольника ABC. 2) Отрезок AQ — биссектриса треугольника APS. 3) Отрезок AP — биссектриса треугольника ABQ. 4) Отрезок AP — биссектриса треугольника ABC. 5) Отрезок AS — биссектриса треугольника APC.

Обозначим каждый из четырёх равных углов при вершине A через α. Лучи расположены в порядке AB, AP, AQ, AS, AC.

1. AQ — биссектриса треугольника ABC: угол BAQ равен 2α, и угол QAC тоже равен 2α. Утверждение верно.
2. AQ — биссектриса треугольника APS: угол PAQ равен α и угол QAS равен α. Утверждение верно.
3. AP — биссектриса треугольника ABQ: угол BAP равен α и угол PAQ равен α. Утверждение верно.
4. AP не является биссектрисой треугольника ABC: он делит угол BAC на α и 3α. Утверждение неверно.
5. AS не является биссектрисой треугольника APC: он делит угол PAC на 2α и α. Утверждение неверно.

Ответ: верны утверждения 1, 2 и 3.