Задание №1. Вершину A треугольника ABC соединили отрезками с точками на противоположной стороне. На рисунке отмечены четыре равных друг другу угла. Какие из следующих утверждений верны? 1) Отрезок AS — биссектриса треугольника APC. 2) Отрезок AP — биссектриса треугольника ABQ. 3) Отрезок AP — биссектриса треугольника ABC. 4) Отрезок AQ — биссектриса треугольника APS. 5) Отрезок AQ — биссектриса треугольника ABC.

Обозначим каждый из четырёх отмеченных равных углов через α. Тогда лучи расположены в порядке AB, AP, AQ, AS, AC, и каждый соседний угол равен α.

1. В треугольнике APC угол между AP и AC равен 3α. Луч AS делит его на углы 2α и α, поэтому не является биссектрисой.
2. В треугольнике ABQ углы BAP и PAQ равны α. Значит, AP — биссектриса.
3. В треугольнике ABC луч AP делит угол BAC на α и 3α, поэтому не является биссектрисой.
4. В треугольнике APS углы PAQ и QAS равны α. Значит, AQ — биссектриса.
5. В треугольнике ABC углы BAQ и QAC равны 2α. Значит, AQ — биссектриса.

Ответ: верны утверждения 2, 4 и 5.