Задание №1. Вершину C треугольника ABC соединили отрезками с точками на противоположной стороне. На рисунке отмечены четыре равных друг другу угла. Какие из следующих утверждений верны? 1) Отрезок CR — биссектриса треугольника PCB. 2) Отрезок CR — биссектриса треугольника KCB. 3) Отрезок CK — биссектриса треугольника ABC. 4) Отрезок CP — биссектриса треугольника KCR. 5) Отрезок CP — биссектриса треугольника ABC.

Обозначим каждый из четырёх равных углов при вершине C буквой α. Лучи из C расположены в порядке CA, CK, CP, CR, CB.

1. В треугольнике PCB луч CR делит угол PCB на углы PCR и RCB. Оба равны α, поэтому CR — биссектриса.
2. В треугольнике KCB луч CR делит угол KCB на углы KCR и RCB. Первый состоит из двух равных частей, второй — из одной, поэтому CR не биссектриса.
3. В треугольнике ABC луч CK делит угол ACB на углы ACK и KCB. Они состоят соответственно из одного и трёх равных углов, поэтому CK не биссектриса.
4. В треугольнике KCR луч CP делит угол KCR пополам: KCP = PCR = α. Значит, CP — биссектриса.
5. В треугольнике ABC луч CP делит угол ACB на две части по два равных угла: ACP = PCB = 2α. Значит, CP — биссектриса.

Ответ: верны утверждения 1, 4 и 5.