Ответ:

Предлагать помощь — корни -лаг-/-лож-: перед г пишется а.

Прикоснуться к ткани — в корнях -кас-/-кос- перед суффиксом -а- пишется а, без него — о. В слове «коснуться» суффикса -а- нет.

Разгорелся спор — в корнях -гар-/-гор- без ударения пишется о.

Удивительный случай — написание безударной гласной нужно запомнить; это словарное слово.

Бирюзовое небо — словарное слово, написание нужно запомнить.

Растереть в порошок — в корнях -бер-/-бир- перед суффиксом -а- пишется и, без него — е; в слове «растереть» суффикса -а- нет.