Задание 1: Вычислите интегралы: $$ \int_{1}^{2} 3x^2 dx $$ и $$ \int_{0}^{1} (5x^4 - 8x^3) dx $$

Решение:

Первый интеграл:

\( \int_{1}^{2} 3x^2 dx = 3 \int_{1}^{2} x^2 dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left[ x^3 \right]_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7 \)

Второй интеграл:

\( \int_{0}^{1} (5x^4 - 8x^3) dx = \left[ \frac{5x^5}{5} - \frac{8x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left[ x^5 - 2x^4 \right]_{0}^{1} = (1^5 - 2 \cdot 1^4) - (0^5 - 2 \cdot 0^4) = (1 - 2) - 0 = -1 \)

Ответ: 7; -1