Задание 10. ABCDA1B1C1D1 – куб, длина ребра которого равна 4 см. Точка К – середина отрезка АА1. Найдите длину отрезка КС.

Решение:

Задача относится к разделу стереометрии, где необходимо найти длину отрезка в трехмерном пространстве. Для решения будем использовать теорему Пифагора.

1. Определим координаты точек:

   Пусть вершина А будет началом координат (0, 0, 0). Тогда координаты вершин будут:

   • A: (0, 0, 0)
   • C: (4, 4, 0) (так как длина ребра куба равна 4 см)
   • A1: (0, 0, 4)
2. Найдем координаты точки К:

   Точка К – середина отрезка АА1. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов:

   • K = ( (0+0)/2, (0+0)/2, (0+4)/2 ) = (0, 0, 2)
3. Вычислим длину отрезка КС:

   Для нахождения длины отрезка КС воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве, которая является следствием теоремы Пифагора:

   • \[ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \]
   • \[ KC = \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2 + (0-2)^2} \]
   • \[ KC = \sqrt{4^2 + 4^2 + (-2)^2} \]
   • \[ KC = \sqrt{16 + 16 + 4} \]
   • \[ KC = \sqrt{36} \]
   • \[ KC = 6 \]
4. Альтернативный метод (через прямоугольный треугольник):

   Рассмотрим прямоугольный треугольник А1КС. Катет А1К равен половине ребра куба, то есть 4/2 = 2 см. Катет А1С является диагональю грани куба. Длина диагонали грани вычисляется по теореме Пифагора: \[ A_1C = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1C^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] Нет, это неверный подход. Нужно рассмотреть треугольник АСC1. AC = 4√2. AC1 = √(AC^2 + CC1^2) = √((4√2)^2 + 4^2) = √(32 + 16) = √48 = 4√3. Неправильный выбор треугольника.

   Правильный прямоугольный треугольник — АКС, где:

   • АК = 2 см (половина ребра АА1).
   • АС = √(AB^2 + BC^2) = √(4^2 + 4^2) = √(16 + 16) = √32 = 4√2 см (диагональ грани АВСD).
   • Угол А равен 90 градусов, так как АС лежит в плоскости основания, а АА1 перпендикулярна основанию. Следовательно, треугольник АСK - прямоугольный с прямым углом при вершине А.

   По теореме Пифагора:

   • \[ KC = \sqrt{AK^2 + AC^2} \]
   • \[ KC = \sqrt{2^2 + (4\sqrt{2})^2} \]
   • \[ KC = \sqrt{4 + 32} \]
   • \[ KC = \sqrt{36} \]
   • \[ KC = 6 \]

Ответ: 6 см