Задание № 10 (экзамен). Найдите объём многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Решение:

Для нахождения объёма многогранника, изображённого на рисунках, мы можем разбить его на более простые геометрические фигуры (прямоугольные параллелепипеды) и найти сумму их объёмов. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле \( V = a \cdot b \cdot c \), где \( a \), \( b \), \( c \) — длина, ширина и высота.

Рисунок 1

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
• Параллелепипед 2: \( 1 \times 2 \times 1 = 2 \)
• Общий объём: \( 6 + 2 = 8 \)

Рисунок 2

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 2 \times 2 \times 3 = 12 \)
• Параллелепипед 2: \( 2 \times 1 \times 2 = 4 \)
• Общий объём: \( 12 + 4 = 16 \)

Рисунок 3

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 2 \times 1 \times 3 = 6 \)
• Параллелепипед 2: \( 1 \times 2 \times 2 = 4 \)
• Общий объём: \( 6 + 4 = 10 \)

Рисунок 4

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 2 \times 1 \times 4 = 8 \)
• Параллелепипед 2: \( 3 \times 1 \times 2 = 6 \)
• Общий объём: \( 8 + 6 = 14 \)

Рисунок 5

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
• Параллелепипед 2: \( 5 \times 2 \times 2 = 20 \)
• Общий объём: \( 8 + 20 = 28 \)

Рисунок 6

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 2 \times 2 \times 3 = 12 \)
• Параллелепипед 2: \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
• Общий объём: \( 12 + 8 = 20 \)

Рисунок 7

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 2 \times 2 \times 4 = 16 \)
• Параллелепипед 2: \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
• Общий объём: \( 16 + 8 = 24 \)

Рисунок 8

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 2 \times 5 \times 3 = 30 \)
• Параллелепипед 2: \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
• Общий объём: \( 30 + 8 = 38 \)

Рисунок 9

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 3 \times 8 \times 3 = 72 \)
• Параллелепипед 2: \( 6 \times 2 \times 3 = 36 \)
• Общий объём: \( 72 + 36 = 108 \)

Рисунок 10

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 6 \times 7 \times 4 = 168 \)
• Параллелепипед 2: \( 4 \times 6 \times 4 = 96 \)
• Общий объём: \( 168 + 96 = 264 \)

Рисунок 11

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 6 \times 4 \times 4 = 96 \)
• Параллелепипед 2: \( 4 \times 6 \times 4 = 96 \)
• Общий объём: \( 96 + 96 = 192 \)

Рисунок 12

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 5 \times 6 \times 4 = 120 \)
• Параллелепипед 2: \( 5 \times 4 \times 3 = 60 \)
• Общий объём: \( 120 + 60 = 180 \)

Рисунок 13

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 3 \times 3 \times 6 = 54 \)
• Параллелепипед 2: \( 3 \times 2 \times 3 = 18 \)
• Общий объём: \( 54 + 18 = 72 \)

Рисунок 14

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 4 \times 7 \times 4 = 112 \)
• Параллелепипед 2: \( 4 \times 2 \times 7 = 56 \)
• Общий объём: \( 112 + 56 = 168 \)

Рисунок 15

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 5 \times 5 \times 3 = 75 \)
• Параллелепипед 2: \( 5 \times 3 \times 5 = 75 \)
• Общий объём: \( 75 + 75 = 150 \)

Рисунок 16

Разбиваем на два параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 5 \times 3 \times 6 = 90 \)
• Параллелепипед 2: \( 4 \times 3 \times 3 = 36 \)
• Общий объём: \( 90 + 36 = 126 \)

Рисунок 17

Разбиваем на три параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 1 \times 2 \times 1 = 2 \)
• Параллелепипед 2: \( 2 \times 2 \times 1 = 4 \)
• Параллелепипед 3: \( 4 \times 1 \times 1 = 4 \)
• Общий объём: \( 2 + 4 + 4 = 10 \)

Рисунок 18

Разбиваем на три параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 6 \times 2 \times 2 = 24 \)
• Параллелепипед 2: \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
• Параллелепипед 3: \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
• Общий объём: \( 24 + 8 + 8 = 40 \)

Рисунок 19

Разбиваем на три параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 6 \times 3 \times 1 = 18 \)
• Параллелепипед 2: \( 2 \times 2 \times 3 = 12 \)
• Параллелепипед 3: \( 1 \times 1 \times 3 = 3 \)
• Общий объём: \( 18 + 12 + 3 = 33 \)

Рисунок 20

Разбиваем на три параллелепипеда:

• Параллелепипед 1: \( 4 \times 2 \times 1 = 8 \)
• Параллелепипед 2: \( 2 \times 2 \times 1 = 4 \)
• Параллелепипед 3: \( 2 \times 1 \times 2 = 4 \)
• Общий объём: \( 8 + 4 + 4 = 16 \)

Ответ: Объёмы многогранников соответственно: 8, 16, 10, 14, 28, 20, 24, 38, 108, 264, 192, 180, 72, 168, 150, 126, 10, 40, 33, 16.