Задание 10. Из точки вне окружности проведены к ней касательная и секущая. Найдите длину отрезка касательной до точки касания, если он на 2 метра больше длины внутреннего отрезка секущей и на 4 метра больше длины её внешнего отрезка.

Обозначим длину касательной через t, внешнего отрезка секущей — через x, внутреннего — через y.

По условию: y = t − 2, x = t − 4.

По теореме о касательной и секущей: t² = x(x + y). Подставим выражения:

\(t^2=(t-4)((t-4)+(t-2))\).

\(t^2=(t-4)(2t-6)\), поэтому \(t^2-14t+24=0\).

Корни уравнения: \(t=12\) и \(t=2\). Значение \(t=2\) не подходит, поскольку тогда длина внешнего отрезка \(t-4\) была бы отрицательной.

Проверка: при \(t=12\) получаем \(x=8\) м и \(y=10\) м; \(8(8+10)=144=12^2\).

Ответ: 12 м.