Задание 10. Найдите все значения, которые может принимать выражение \((x-13)(y-13)(z-13)\), если известно, что \(x+y+z=12\) и \(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=13^{-1}\).

Раскроем произведение и сгруппируем слагаемые:

\[(x-13)(y-13)(z-13)=xyz-13(xy+yz+zx)+169(x+y+z)-13^3.\]

Так как \(x,y,z\ne0\), можно привести сумму обратных величин к общему знаменателю:

\[\frac1x+\frac1y+\frac1z=\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac1{13}.\]

Следовательно, \(xyz=13(xy+yz+zx)\), поэтому первые два слагаемых в раскрытом произведении взаимно уничтожаются. Используя \(x+y+z=12\), получаем

\[169\cdot12-13^3=2028-2197=-169.\]

Ответ: выражение может принимать только значение \(-169\).