Задание 10. Уравнения с модулем. а) Решите уравнение |2x − 3| = 5. б) Решите уравнение |x − 1| + |x + 2| = 5 методом интервалов.

а) Модуль равен 5, если выражение под модулем равно 5 или −5:

\(2x-3=5\) или \(2x-3=-5\).

Из первого уравнения \(2x=8\), значит \(x=4\). Из второго \(2x=-2\), значит \(x=-1\).

б) Нули выражений под модулями: \(x=-2\) и \(x=1\). Разбиваем числовую прямую на интервалы.

1. При \(x<-2\): \(|x-1|+|x+2|=-(x-1)-(x+2)=-2x-1\). Тогда \(-2x-1=5\), откуда \(x=-3\), и это значение подходит.
2. При \(-2\le x<1\): \(|x-1|+|x+2|=-(x-1)+(x+2)=3\). Уравнение \(3=5\) решений не имеет.
3. При \(x\ge1\): \(|x-1|+|x+2|=(x-1)+(x+2)=2x+1\). Тогда \(2x+1=5\), откуда \(x=2\), и это значение подходит.

Ответ: а) \(x=-1;\ 4\); б) \(x=-3;\ 2\).