Задание 10. В квадрате ABCD во внутреннюю сторону построили равносторонний треугольник APD. Пусть M и N — середины отрезков BP и CP соответственно. Докажите, что треугольник MON — равносторонний, где O — центр квадрата.

Пусть сторона квадрата равна a. Выберем координаты A = (0, 0), B = (a, 0), C = (a, a), D = (0, a). Так как треугольник APD равносторонний и расположен внутри квадрата, P = \(\left(\frac{\sqrt{3}a}{2},\frac{a}{2}\right)\). Центр квадрата O = \(\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)\).

1. По формуле координат середины отрезка получаем \(M=\left(\frac{a+\sqrt{3}a/2}{2},\frac{a}{4}\right)\) и \(N=\left(\frac{a+\sqrt{3}a/2}{2},\frac{3a}{4}\right)\). У точек M и N одинаковая абсцисса, поэтому \(MN=\frac{a}{2}\).

2. По формуле расстояния \(OM=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}a}{4}\right)^2+\left(\frac{a}{4}\right)^2}=\frac{a}{2}\).

3. Аналогично \(ON=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}a}{4}\right)^2+\left(\frac{a}{4}\right)^2}=\frac{a}{2}\).

Следовательно, \(OM=ON=MN\), значит, треугольник MON равносторонний.