Ответ:

1. Тёплый дождь пошёл и освежил землю.

Запятая не ставится: пошёл и освежил — однородные сказуемые, соединённые одиночным союзом и.

2. Тёплый дождь пошёл, и солнце скрылось за тучами.

Запятая ставится: это сложное предложение, состоящее из двух грамматических основ: дождь пошёл, солнце скрылось.