Ответ:
1. Тёплый дождь пошёл и освежил землю.
Запятая не ставится: пошёл и освежил — однородные сказуемые, соединённые одиночным союзом и.
2. Тёплый дождь пошёл, и солнце скрылось за тучами.
Запятая ставится: это сложное предложение, состоящее из двух грамматических основ: дождь пошёл, солнце скрылось.
