ЗАДАНИЕ 10 Введите ответ в числовое поле На каком расстоянии от центра Земли силы притяжения космического корабля к Земле и Луне уравновешивают друг друга? Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние между их центрами в 60 раз больше радиуса Земли. В качестве ответа напишите количество раз, в которое искомое расстояние больше радиуса Земли. Ответ округлить до целых.

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно приравнять силы притяжения космического корабля к Земле и Луне. Формула силы гравитационного притяжения выглядит так:

\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]

Где:

• F - сила гравитационного притяжения
• G - гравитационная постоянная
• m₁ - масса одного тела
• m₂ - масса другого тела
• r - расстояние между центрами масс тел

Пусть:

• M_з - масса Земли
• M_л - масса Луны
• R - расстояние от центра Земли до космического корабля
• D - расстояние между центрами Земли и Луны
• r_к - радиус Земли
• m_к - масса космического корабля

По условию:

• M_л = M_з / 81
• D = 60 * r_к

Сила притяжения корабля к Земле:

\[ F_з = G \frac{M_з m_к}{R^2} \]

Сила притяжения корабля к Луне. Расстояние от Луны до корабля будет D - R:

\[ F_л = G \frac{M_л m_к}{(D - R)^2} \]

Приравниваем силы:

\[ G \frac{M_з m_к}{R^2} = G \frac{M_л m_к}{(D - R)^2} \]

Сокращаем G и m_к:

\[ \frac{M_з}{R^2} = \frac{M_л}{(D - R)^2} \]

Подставляем M_л = M_з / 81:

\[ \frac{M_з}{R^2} = \frac{M_з / 81}{(D - R)^2} \]

Сокращаем M_з:

\[ \frac{1}{R^2} = \frac{1}{81 (D - R)^2} \]

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

\[ \frac{1}{R} = \frac{1}{9 (D - R)} \]

Перемножаем крест-накрест:

\[ 9 (D - R) = R \]

\[ 9D - 9R = R \]

\[ 9D = 10R \]

\[ R = \frac{9}{10} D \]

Теперь подставляем D = 60 * r_к:

\[ R = \frac{9}{10} \cdot (60 r_к) \]

\[ R = 9 \cdot 6 r_к \]

\[ R = 54 r_к \]

Искомое расстояние (R) больше радиуса Земли (r_к) в 54 раза.

Ответ округляется до целых, что уже выполнено.

Ответ: 54