Задание 11. Решите уравнение: \( \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \cdot \sqrt{x^2 - 7x + 10} = 0 \).

Решение:

Для решения уравнения \( \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \cdot \sqrt{x^2 - 7x + 10} = 0 \), нам нужно рассмотреть два случая:

1. Случай 1: \( \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \)

Тогда \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Решениями этого уравнения являются \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

2. Случай 2: \( \sqrt{x^2 - 7x + 10} = 0 \)

Возведём обе части в квадрат: \( x^2 - 7x + 10 = 0 \).

Найдем дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \).

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5 \)

\( x_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2 \)

3. Проверка условий:

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни \( x = 5 \) и \( x = 2 \) условию \( \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \) или \( \sqrt{x^2 - 7x + 10} = 0 \) для всех множителей. Основное условие — неотрицательность подкоренного выражения. Для \( x=2 \) и \( x=5 \) подкоренное выражение равно 0, так что эти значения являются допустимыми.

Нам нужно, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю. Мы уже нашли решения для каждого множителя.

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = 2, \quad x = 5 \), где \( n \) — целое число.