Ответ:

«Перси» («персех» — форма родительного падежа множественного числа) этимологически связывают со словами перо и перина. Смысловая связь — с древним значением «оперение, пух»: перья и пух служили наполнителем мягкой постели, а слово «перси» обозначало грудь.

Это историческое родство не означает, что в современном русском языке слова имеют общий корень в рамках обычного морфемного разбора.