Задание 11. У многоугольника всего 20 диагоналей. Сколько у него сторон?

Число диагоналей выпуклого многоугольника с n сторонами равно \(\frac{n(n-3)}{2}\): из каждой вершины можно провести диагонали к n − 3 вершинам, при этом каждая диагональ учитывается дважды.

Составим уравнение: \(\frac{n(n-3)}{2}=20\).

Умножим обе части на 2 и раскроем скобки: \(n^2-3n=40\), то есть \(n^2-3n-40=0\).

Разложим на множители: \((n-8)(n+5)=0\). Получаем \(n=8\) или \(n=-5\). Отрицательное число сторон невозможно, поэтому подходит только 8.

Ответ: 8 сторон.