ЗАДАНИЕ 11 Введите ответ в числовое поле Высота, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна 6 и делит гипотенузу на отрезки, один из которых больше другого на 5. Найдите большую сторону треугольника.

Решение:

Пусть дана высота \( h = 6 \) прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла. Эта высота делит гипотенузу на два отрезка \( x \) и \( y \). По условию, один отрезок больше другого на 5, поэтому \( y = x + 5 \) (или \( x = y + 5 \)).

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

\( h^2 = x \cdot y \)

Подставим известные значения:

\( 6^2 = x(x+5) \)

\( 36 = x^2 + 5x \)

\( x^2 + 5x - 36 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( x \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-36) = 25 + 144 = 169 \]

\[ \sqrt{D} = 13 \]

Найдем значения \( x \):

\[ x_1 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]

Так как \( x \) — это длина отрезка, то \( x > 0 \). Следовательно, \( x = 4 \).

Найдем длину второго отрезка \( y \):

\[ y = x + 5 = 4 + 5 = 9 \]

Таким образом, гипотенуза делится на отрезки длиной 4 и 9. Длина гипотенузы равна \( c = x + y = 4 + 9 = 13 \).

Теперь найдем катеты прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора. Обозначим катеты \( a \) и \( b \).

\( a^2 = h^2 + x^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 \) \( \Rightarrow a = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \)

\( b^2 = h^2 + y^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117 \) \( \Rightarrow b = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \)

Проверим по теореме Пифагора для всего треугольника: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

\( 52 + 117 = 13^2 \)

\( 169 = 169 \) (Верно)

Теперь сравним длины катетов и гипотенузы, чтобы найти большую сторону треугольника:

\( a = 2\sqrt{13} \approx 2 \times 3.6 = 7.2 \)

\( b = 3\sqrt{13} \approx 3 \times 3.6 = 10.8 \)

\( c = 13 \)

Большая сторона треугольника — это гипотенуза \( c \).

Ответ: 13